رابطه هندسه و حساب

رابطه هندسه و حساب

دید کلی

بستگی متقابل حساب و هندسه و بطور کلی بستگی بین نظریه‌های ریاضی دور بوده است. حال آن که این بستگی اهمیت بسیار زیادی دارد. تاثیر متقابل نظریه‌هاست که ریاضیات را به جلو می‌کشاند و غنای رابطه‌هایی از واقعیت‌ها را که به وسیله این نظریه‌ها منعکس شده است ظاهر می‌سازد.

دید کلی

بستگی متقابل حساب و هندسه و بطور کلی بستگی بین نظریه‌های ریاضی دور بوده است. حال آن که این بستگی اهمیت بسیار زیادی دارد. تاثیر متقابل نظریه‌هاست که ریاضیات را به جلو می‌کشاند و غنای رابطه‌هایی از واقعیت‌ها را که به وسیله این نظریه‌ها منعکس شده است ظاهر می‌سازد.

اثر متقابل بین هندسه و حسلب


1.حساب و هندسه نه تنها از یکدیگر استفاده می‌کنند بلکه در عین حال سرچشمه اندیشه‌ها ، روش‌ها و نظریه‌های عمومی بعدی هم به شمار می‌روند. در تحلیل نهایی ، حساب و هندسه عبارت از دو ریشه‌ای هستند که ریاضیات بر پایه آنها قرار گرفته و رشد کرده است. تاثیر متقابل این دو دانش از همان زمانی که نطفه هر یک از آنها بسته می‌شد وجود داشت. همان اندازه‌گیری ساده طول هم ترکیبی از حساب و هندسه است. زمانی که طول چیزی را اندازه می‌گیریم، واحد طول را روی آن جدا می‌کنیم و حساب می‌کنیم که چند مرتبه می‌توانیم این عمل را انجام دهیم. عمل اول (جدا کردن واحد) یک عمل هندسی و عمل دوم (محاسبه) یک عمل مربوط به حساب است. هر کسی هم که طول جاده‌ای را با گام‌های خود می‌شمارد، این دوعمل را با هم ترکیب می‌کنند.

2.در جریان پیشرفت مفهوم عدد ، که حساب و هندسه هر دو در آن شرکت داشتند، پیدایش عددهای کسری نخستین گام به شمار می‌رود. گام بعدی کشف پاره‌خط‌های گنگ بود. یادآوری می‌کنیم، پاره‌خطها را زمانی نسبت به هم گنگ گویند که پاره‌خطی وجود نداشته باشد که در هر دوی آنها به تعداد درستی بگنجد (یعنی وقتی که مقیاس مشترک نداشته باشند و یا به زبان دیگر ، نسبت بین آنها بوسیله کسرهای معمولی ، یعنی نسبت بین عددهای درست ، بیان نشود).

3.نیوتن ، ضمن مشخص کردن مفهوم عدد حقیقی ، در کتاب خود به نام "حساب عمومی" نوشت: "عدد مجموعه‌ای از واحدها نیست، بلکه عدد نسبت انتزاعی یک کمیت به کمیت دیگری است که به عنوان واحد برگزیده شده باشد". این عدد (نسبت) می‌تواند درست ، گویا یا گنگ (اگر کمیت مفروض نسبت به واحد انتخابی گنگ باشد) باشد. در نتیجه ، عدد حقیقی طبق مفهوم نخستین خود چیزی جز نسبت یک کمیت به کمیت دیگری ، که به عنوان واحد برگزیده شده است، نیست و در حالت خاص عبارت است از نسبت پاره‌خط‌های راست ، ولی می‌تواند نسبت مساحت‌ها ، وزن‌ها و غیره هم باشد. بنابراین ، عدد حقیقی عبارت است از نسبت کمیت‌ها به طور کلی و این نسبت هم جدا از طبیعت و خود ویژگی‌های این کمیت‌ها بررسی می‌شود.

در نظریه عددهای حقیقی هم مثل حساب ، پیش از همه ، عمل‌هایی که روی عددها انجام می‌گیرد تعریف می‌شود؛ یعنی جمع ، تفریق ، ضرب ، تقسیم و همچنین نسبت بین عددها که بوسیله واژه‌هایی مثل "بزرگتر است" و "کوچکتر است" بیان می‌شود. این عمل‌ها و نسبت‌ها ، بستگی‌های واقعی کمیت‌های مختلف را منعکس می‌کند؛ جمع ، افزایش پاره‌خط‌ها را منعکس می‌کند. عمل روی عددهای حقیقی از سده‌های میانه و به وسیله ریاضی‌دانان خاور زمین آغاز شده است و بعدها به تدریج مهم‌ترین ویژگی دستگاه عددهای حقیقی ، یعنی پیوسته بودن آن مطرح شد. دستگاه عددهای حقیقی عبارت است از شکل انتزاعی مقدارهایی که به طور پیوسته تغییر می‌کند و هر حالت ممکن را هم می‌تواند قبول کند.

4.در نمونه تاثیر متقابل حساب و هندسه می‌توان دید که پیشرفت ریاضیات ناشی از جریان برخورد تعداد زیادی عنصرهای متضاد با هم ، مانند مشخص و مجرد ، حالت خاص و حالت کلی ، شکل و مضمون ، محدود و نامحدود ، پیوسته و ناپیوسته و غیره ، که در درون آن به هم آمیخته‌اند، می‌باشد. برای نمونه ، عنصرهای متضاد مشخص و مجرد را درباره به وجود آمدن مفهوم عدد حقیقی دنبال کنیم. همان طور که دیدیم، عدد حقیقی جریان پیشرفت دقیقی اندازه‌گیری ، و یا به مفهوم دیگر ، اندازه‌گیری بی‌اندازه دقیق کمیت‌ها را منعکس می‌کنند و این به آن مناسبت است که در هندسه اندازه‌ها و شکل‌هایی که دقت ایده آلی دارند، بررسی می‌شود. در حالی که اندازه و شکل‌های واقعی چیزهای دور و برما ، قابل تغییرند و بعضی نامشخص‌ها دارند.

5.نقش نمونه دیگری از عنصرهای متضاد ، یعنی دو مفهوم پیوسته و ناپیوسته را هم می‌توان بر مبنای پیشرفت مفهوم عدد پیگیری کرد. پیش از این دیدیم که کسرها از تقسیم کمیت‌های پیوسته به وجود آمده‌اند. ریاضیات ، با جدا کردن شکل از محتوی ، شکل را به پیوسته و ناپیوسته بخش می‌کند. واحد ، تجسم ریاضی چیزهای تنها و منفرد ، مجموع واحدها تجسم ریاضی مجموعه چیزهای تنها و منفرد است، و این تجسم ناپیوستگی بصورت خالص و مطابق خود می‌باشد، ناپیوستگی که از ویژگی‌های دیگر جدا شده است. پیوستگی شکل‌های هندسی ، و در حالت ساده‌تر ، پیوستگی خط راست ، تجسم ریاضی و در عین حال پایه و ریشه مفهوم پیوستگی را به تاثیر متقبل حساب و هندسه تنها درباره بوجود آمدن مفهوم "عدد حقیقی" نقش خود را بازی نکرد. همین تاثیر متقابل هندسه و حساب ، و یا دقیق‌تر بگوییم، هندسه و جبر بود که موجب تثبیت مفهوم عددهای منفی و مختلط (یعنی عددی به شکل ) در ریاضیات شد. عددهای منفی ، به وسیله نقطه‌هایی بیان می‌شود که در سمت چپ نقطه‌ای که متناظر با صفر است واقع باشد. عددهای مختلط هم ، بوسیله نقطه‌های واقع بر صفحه بیان می‌شود و بویژه این نمایش هندسی ، موقعیت عدد موهومی را ، که از آن زمان نامفهوم باقی مانده بود، تحکیم کرد.

مفهوم کمیت ، پیشرفت بیشتری پیدا کرد، از جمله کمیتهای برداری که پاره خط جهت‌دار را بیان می‌کرد و کمیت‌های باز هم کلی‌تری (مثل تانسورها) به وجود آمد که در همه این حالت‌ها ، دوباره جبر با هندسه یکی می‌شود